Enunciado

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 1 x + x x 3 d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Vamos começar essa dando uma arrumada na casa:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ 1 x 1 2 + x 3 3 d x

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 + x 3 2 3 d x

Passo 2

Nossa integral vai ficar assim, se a gente separar:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 d x + ∫ x 3 2 3 d x

Botando as constantes pra fora:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 d x + 1 3 ∫ x 3 2 d x

Pra primeira integral:

∫ x - 1 2 d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C 1 = 2 x 1 2 + C 1

Pra segunda:

1 3 ∫ x 3 2 d x = 1 3 x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C 2 = 2 x 5 2 15 + C 2

Juntando as duas, vamos ter duas constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ 1 x + x x 3 d x = 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = d d x 2 x 1 2 + d d x 2 x 5 2 15 + d d x ( C )

Derivando,

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = 1 2 ( 2 x - 1 2 + 5 2 2 15 x 3 2 + 0

Arrumando,

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = 1 x + x 3 2 3

Resposta

∫ 1 x + x x 3 d x = 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exemplo 2 da Seção 5.1 mostramos que ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 . Use esse fato e as propriedades das integrais para calcular ∫ 0 1 5 - 6 x 2 d x .
Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.d)∫ - 1 1 f x d x onde f x =x s e x ∈ Q - xs e x ∉ Q
Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.b)∫ 0 3 f x d x onde f x = 1s e0 ≤ x2 3s e2 ≤ x ≤ 3
Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.a)∫ 0 2 f x d x onde f x = 1s e0 ≤ x1 4s ex = 1 2s e1x ≤ 2
Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.c)∫ 0 1 f x d xo n d ef x = 1 x 2s e0x ≤ 1 2 s e x = 0