Enunciado

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

5- A base de um sólido é a região entre a curva y = 2 sen ⁡ x e o intervalo [ 0 , π ] no eixo x . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são

  1. Triângulos equiláteros com bases que se estendem do eixo x a curva como mostra a figura a seguir.

Passo 1

A área de um triângulo equilátero pode ser calculada como, (para isso basta fazermos um triângulo com dimensões iguais, dividir em dois triângulos e somar suas áreas):

A = 3 y 2 4

Uma vez que y é um dos lados desse triângulo, substituindo pelo valos da equação temos:

A = 3 × 4 sen ⁡ x 4

O que dá:

A = 3   s e n   x

Passo 2

Se fizermos a integral no intervalo de 0 até π acharemos seu volume:

∫ A = ∫ 0 π 3   s e n   x   d x

Como ∫ s e n   x =   - cos ⁡ x temos como resultado:

V = - 3   c o s x 0 π  

Passo 3

Fazendo a operação temos:

V = - 3 cos ⁡ π + 3 cos ⁡ 0

V = + 3 + 3 = 2 3

Resposta

V = 2 3

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