Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.

4)

∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x d y

Passo 1

Fala galerinha! Vamos resolver mais uma integral!

O enunciado pede pra gente calcular a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x d y

Lembrando que devemos fazer iteradamente, ou seja, primeiro com relação a x e depois com relação a y !

Vamos nessa

Passo 2

Integrando primeiro com relação a x temos o seguinte:

∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x = ∫ 0 1 1   d x - ∫ 0 1 x 2 2 d x - ∫ 0 1 y 2 2 d x

Fazendo uma por uma, teremos:

∫ 0 1 1   d x = x 0 1 = 1

∫ 0 1 x 2 2 d x = x 3 6 0 1 = 1 6

∫ 0 1 y 2 2 d x = x y 2 2 0 1 = y 2 2

Juntando todos os nosso resultados, temos que:

∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x = 1 - 1 6 - y 2 2

Simplificando, temos:

∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x = 5 6 - y 2 2

Passo 3

Agora, realizando a integral em relação a y , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x d y = ∫ 0 1 5 6 - y 2 2   d y

Podemos separar, como anteriormente, da seguinte maneira:

∫ 0 1 5 6 + y 2 2   d y = ∫ 0 1 5 6 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y

Resolvendo cada integral, temos:

∫ 0 1 5 6 d y = 5 y 6 0 1 = 5 6

∫ 0 1 y 2 2 d y = y 3 6 0 1 = 1 6

Juntando nossas informações, temos:

∫ 0 1 5 6 + y 2 2   d y = 5 6 - 1 6 = 2 3

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - x 2 + y 2 2   d x d y = 2 3

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