Enunciado

3. Inverter a ordem de integração:

c) int_1^2 int_0^(e^x) f (x , y) d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

{[[1 <= x <= 2],[0 <= y <= e^x]])

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 1

x = 2

y = 0

y = e^x

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Ao observar o gráfico, notamos que não conseguimos reescrevê-lo em um único intervalo, precisaremos dividir a figura em duas. A primeira sendo um retângulo e a segunda a parte de cima, aproximando muito de um triângulo, para melhor entendimento.

Na primeira parte, temos:

Um novo intervalo numérico para y , onde:

0 <= y <= e

Como temos uma espécie de retângulo, teremos:

1 <= x <= 2

Portanto, a primeira parte será:

int_0^e int_1^2 f (x , y) d x d y

Passo 3

A segunda parte, vamos escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca primeiro em e^x e depois na reta x = 2 . Entretanto, como podemos representar isso em função de y ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = e^x :. x = ln y

Dessa forma, temos:

{[[ln y <= x <= 2],[e <= y <= e^2]])

Portanto, a segunda parte é:

int_e^(e^2) int_(ln y)^2 f (x , y) d x d y

Passo 4

Agora basta juntar as duas integrais, obtendo:

int_0^e int_1^2 f (x , y) d x d y + int_e^(e^2) int_(ln y)^2 f (x , y) d x d y

Resposta

int_0^e int_1^2 f (x , y) d x d y + int_e^(e^2) int_(ln y)^2 f (x , y) d x d y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral iterada.int_1^2 int_0^2 (y + 2 x e^y) d x d y
Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^1 y e^(x y) d x d y
Escreva ∫ ∫ R f x , yd A como uma integral iterada, onde R é a região mostrada e f é uma função arbitrária contínua em R .