3. Inverter a ordem de integração:

c) ∫ 1 2 ∫ 0 e x f x , y d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

1   ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ e x

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 1

x = 2

y = 0

y = e x

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Ao observar o gráfico, notamos que não conseguimos reescrevê-lo em um único intervalo, precisaremos dividir a figura em duas. A primeira sendo um retângulo e a segunda a parte de cima, aproximando muito de um triângulo, para melhor entendimento.

Na primeira parte, temos:

Um novo intervalo numérico para y , onde:

0 ≤ y ≤ e

Como temos uma espécie de retângulo, teremos:

1 ≤ x ≤ 2

Portanto, a primeira parte será:

∫ 0 e ∫ 1 2 f x , y d x d y

Passo 3

A segunda parte, vamos escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca primeiro em e x e depois na reta x = 2 . Entretanto, como podemos representar isso em função de y ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = e x ∴ x = ln ⁡ y

Dessa forma, temos:

ln ⁡ y ≤ x ≤ 2 e ≤ y ≤ e 2

Portanto, a segunda parte é:

∫ e e 2 ∫ ln ⁡ y 2 f x , y d x d y

Passo 4

Agora basta juntar as duas integrais, obtendo:

∫ 0 e ∫ 1 2 f x , y d x d y + ∫ e e 2 ∫ ln ⁡ y 2 f x , y d x d y

Resposta

∫ 0 e ∫ 1 2 f x , y d x d y + ∫ e e 2 ∫ ln ⁡ y 2 f x , y d x d y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados