Enunciado

Nos exercícios de 13 a 16 , ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas.

r = 2 r = 3 - 2 cos ⁡ θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

A partir daí, percebemos que os pontos de intersecção são A 2 , π 3 e   B 2 , 5 π 3 . A região de intersecção é simétrica em relação ao eixo polar e sua área pode ser obtida a partir da soma de duas áreas observando os limites de θ , multiplicada por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . [ 1 2 ∫ 0 π 3 3 - 2 c o s θ 2 d θ + 1 2 ∫ π 3 π 2 2 d θ ] =

∫ 0 π ( 9 - 12 c o s θ + 4 cos 2 ⁡ θ ) d θ + 4 ∫ π 3 π d θ =

= ∫ 0 π 9 - 12 c o s θ + 4 . 1 2 1 + c o s 2 θ d θ + 4 θ π 3 π =

= 11 θ - 12 s e n θ + 2 . 1 2 s e n 2 θ 0 π 3 + 4 θ π 3 π = 11 π 3 - 12 3 2 + 3 2 + 4 π - 4 π 3

= 19 π 3 - 11 3 2

Resposta

A = 19 π 3 - 11 3 2

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