Enunciado

Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

14 .             19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 - 26 x + 38 y + 31 = 0

Passo 1

Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo x y e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 - 26 x + 38 y + 31 = 0 e vamos remover o termo x y , então utilizaremos a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = 6 1 9 - 1 1 = 6 8 = 3 4

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2                             sen ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2                         0 < α < π 2  

Como tan ⁡ 2 α = 3 4 , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

Com cos ⁡ 2 α = 4 5 , temos:

cos ⁡ α = 1 + 4 5 2                             sen ⁡ α = 1 - 4 5 2

cos ⁡ α = 9 10 = 3 10                             sen ⁡ α = 1 2 5 = 1 10

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 3 10 - y - 1 10                         y = x - 1 10 + y - 3 10

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

19 x - 3 10 - y - 1 10 2 + 6 x - 3 10 - y - 1 10 x - 1 10 + y - 3 10 + 11 x - 1 10 + y - 3 10 2 - 26 x - 3 10 - y - 1 10 + 38 x - 1 10 + y - 3 10 + 31 = 0

Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:

20 x - 2 - 4 10 x - + 10 y - 2 + 14 10 y - + 31 = 0

Passo 4

Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.

20 x - 2 - 4 20 10 x - + 10 y - 2 + 14 10 10 y - = - 31

20 x - 2 - 1 5 10 x - + 10 10 2 + 10 y - 2 + 7 5 10 y - + 7 10 10 2 = - 31 + 20 10 10 2 + 10 7 10 10 2

20 x - - 10 10 2 + 10 y - + 7 10 10 2 = - 31 + 20 ⋅ 10 100 + 10 ⋅ 490 100

20 x - - 10 10 2 + 10 y - + 7 10 10 2 = - 3100 + 200 + 4900 100

20 x - - 10 10 2 + 10 y - + 7 10 10 2 = 2000 100 = 20

x - - 10 10 2 + y - + 7 10 10 2 2 = 1

Temos então uma equação reduzida de elipse.

Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é C = 10 10 , - 7 10 10 . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas O x - y - .

x - = x - ' + 10 10                       y - = y - ' - 7 10 10  

Ficamos com a equação:

x - ' 2 + y - ' 2 2 = 1        

Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema O X - ' Y - ' .

Passo 5

Como cos ⁡ α = 3 10 , então o ângulo de rotação foi de aproximadamente α ≈ 18.4 ° . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos O X Y , os eixos O X - Y -   rotacionados ≈ 18.4 ° e os eixos transladados O ' X - ' Y ' - .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. x y = 2