Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15 :

  1. Determine os traços
  2. Determine as seções
  3. Identifique a superfície quadrica
  4. Esboce os gráficos

9.

y - x ² = 1

- 2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações

y = a x 2 → Parábola

x 2 + y 2 = a 2 → Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 + b y 2 = c

Ou,

x α 2 + y β 2 = 1

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de x será a e o raio de y será b .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 - b y 2 = c

Ou,

x α 2 - y β 2 = 1

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

x α 2 - y β 2 = 1

e

x α 2 + y β 2 = 1

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Quando o exercício nos pede para fazer seções, ele quer que façamos CURVAS DE NIVEL. Funciona assim, vamos pegar a variável z e fixar valores para ele e ver como a função se comporta.

No nosso caso temos a seguinte equação

y - x ² = 1

- 2 ≤ x ≤ 2

Que é basicamente uma parábola com restrição no seu domínio. Vamos ver abaixo como fica as curvas de nível.

Ou seja teremos parábolas com um eixo em z

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine as seções: 4 x 2 - 9 y 2 - z 2 = 36
Identifique a superfície: x 2 + y 2 + z 2 - 2 y - 2 x + 1 = 0
Esboce seu gráfico: x 2 + y 2 - z 2 - 4 y = 0
Determine as seções: x 2 + y 2 - z 2 - 4 y = 0
Determine os traços: x 2 + y 2 - z 2 - 4 y = 0