Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

28. z = x 4 + 1 4 y 5 + x + 1 3 y 3 + 15

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = x 4 + 1 4 y 5 + x + 1 3 y 3 + 15

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = 4 x 3 + 1

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = 5 4 y 4 + y ²

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

4 x 3 + 1 = 0 ⇒ x = - 1 4 3 5 4 y 4 + y 2 = 0 ⇒ y = 0

Sendo assim, podemos concluir que o ponto crítico da função é - 1 4 3 ,   0 .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = 4 x 3 + 1

∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2

Para y :

∂ f ∂ y = 5 4 y 4 + y ²

∂ 2 f ∂ y 2 = 5 y 3 + 2 y

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

H - 1 4 3 ,   0 = 12 x 2 0 0 5 y 3 + 2 y = 12 x 2 5 y 3 + 2 y

H - 1 4 3 ,   0 = 0

Como o nosso determinante deu zero, segundo as proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que, infelizmente, não podemos concluir nada sobre o ponto crítico que encontramos. Dessa forma:

- 1 4 3 ,   0   é   i n c o n c l u s i v o

Resposta

Ponto crítico: - 1 4 3 ,   0 ;

Classificação: Inconclusivo.

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