Encontrar:

(∂^2 f / ∂x²), (∂^2 f / ∂y²), (∂^2 f / ∂x∂y), (∂^3 f / ∂x²∂y) e (∂^3 f / ∂z³)

Das seguintes funções:

a) f(x, y, z) = (xyz, ln(y), ln(z)) .

Passo 1

Então pessoal, o enunciado pede para que encontremos vááárias derivadas, então para não confundir iremos fazê-las passo a passo e uma de cada vez, tudo jóia? Então ok! A função que nos foi dada é:

f → x ,   y ,   z = x y z , ln ⁡ y , ln ⁡ z

A primeira derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ x ² . Sendo assim:

∂ f → ∂ x = y z ,   0 ,   0

∂ 2 f → ∂ x ² = 0 ,   0 ,   0

A segunda derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ y ² . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = x z , 1 y ,   0

∂ 2 f → ∂ y ² = 0 ,   - 1 y 2 ,   0

Tudo bem, as primeiras duas já foram, agora vamos para o resto!

Passo 2

A terceira derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ x ∂ y . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = x z , 1 y ,   0

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = z ,   0 ,   0

A quarta derivada que temos que encontrar é ∂ 3 f → ∂ x ² ∂ y . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = x z , 1 y ,   0

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = z ,   0 ,   0

∂ 3 f → ∂ x ² ∂ y = 0 ,   0 ,   0

As quatro primeiras já foram, agora só falta a última!

Passo 3

A última derivada que temos que encontrar (socorro) é ∂ 3 f → ∂ z ³ . Sendo assim:

∂ f → ∂ z = x y ,   0 , 1 z

∂ 2 f → ∂ z 2 = 0 ,   0 ,   - 1 z 2

∂ 3 f → ∂ z ³ = 0 ,   0 , 2 z 3

Ufa! Agora sim, todas as derivadas foram completadas! 😉

Resposta

∂ 2 f → ∂ x ² = 0 ,   0 ,   0 ;   ∂ 2 f → ∂ y ² = 0 ,   - 1 y 2 ,   0 ;   ∂ 2 f → ∂ x ∂ y = z ,   0 ,   0

∂ 3 f → ∂ x ² ∂ y = 0 ,   0 ,   0 ;   ∂ 3 f → ∂ z ³ = 0 ,   0 , 2 z 3

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