Enunciado

1.Encontrar, se existirem, os pontos de máximos e de mínimos globais das funções:

f)   f x , y = x 4 + y 4

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 4 x 3 , 4 y 3

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 0,0 ) → 4 x 3 = 0

                                                                              4 y 3 = 0

Daí, segue que (x,y)=(0,0).

Como as derivadas parciais de primeira existem em todo ( x , y ) ∈ D f , não há nenhum outro ponto crítico além do que já encontramos.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem:

f x = 4 x 3

f x x = 12 x 2

f y = 4 y 3

f y y = 12 y 2

Como   z = f x , y é de classe c ∞ , ou seja, as derivadas de todas as ordens existem e são contínuas (isso pode ser observado, pois não há nenhuma singularidade na nossa função, nenhum ponto em que ela não esteja bem definida, sacou ?!), sabemos que

f x y = f y x = 0

Aplicando o teste da segunda derivada parcial:

d e t H 0,0 = d e t f x x 0,0 f y x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 = d e t 0 0 0 0 = 0

Oooopss!!!! Nós sabemos que quando d e t H 0,0 = 0 , o teste é inconclusivo. E agora ????

Calma, garoto. Vem comigo que vai dar certo.

Perceba que o gráfico da função dada no enunciado coincide muito com a superfície do parabolóide circular z = x 2 + y 2   a não ser pelo x 4 e y 4 que deveriam ser x 2 e y 2 , respectivamente.

Se você olhar para imagem, vai perceber que não existem máximos globais, pois o gráfico da nossa função cresce infinitamente. Mas perceba que (0,0) é ponto de mínimo global, pois (0,0,0) é o ponto mais baixo do nosso gráfico.

Resposta

Existe um único ponto de mínimo global: (0,0). Não existem máximos globais.

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