Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

31. z = x x 2 + y 2 + 4

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = x x 2 + y 2 + 4

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = x 2 + y 2 + 4 - 2 x ² x 2 + y 2 + 4 2 = - x 2 + y 2 + 4 x 2 + y 2 + 4 2

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = - x . x 2 + y 2 + 4 - 2 . 2 y = - 2 x y ( x 2 + y 2 + 4 ) ²

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

- x 2 + y 2 + 4 x 2 + y 2 + 4 2 = 0 ⇒ - x 2 + y 2 + 4 = 0 - 2 x y x 2 + y 2 + 4 2 = 0 ⇒ 2 x y = 0

Da segunda equação, temos que x = 0 ou y = 0 . Dessa forma, substituindo os dois resultados na primeira equação, teremos:

y 2 + 4 = 0

y 2 = - 4   ∄

Agora para y = 0 :

- x 2 + 4 = 0

x 2 = 4 ∴ x = ± 2

Sendo assim, temos que os pontos críticos são: 2 ,   0 e ( - 2 ,   0 ) .

Passo 2

Para classificarmos se os pontos críticos se tratam de pontos de máximo ou pontos de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = - x 2 + y 2 + 4 x 2 + y 2 + 4 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 2 x . x 2 + y 2 + 4 2 - - x 2 + y 2 + 4 . 2 . x 2 + y 2 + 4 . 2 x x 2 + y 2 + 4 4

Para y :

∂ f ∂ y = - 2 x y ( x 2 + y 2 + 4 ) ²

∂ 2 f ∂ y 2 = - 2 x . x 2 + y 2 + 4 2 - - 2 x y . 2 . x 2 + y 2 + 4 . 2 y x 2 + y 2 + 4 4

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 2 y . x 2 + y 2 + 4 2 - - x 2 + y 2 + 4 . 2 . x 2 + y 2 + 4 2 . 2 y x 2 + y 2 + 4 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 2 y . x 2 + y 2 + 4 2 - - 2 x y . 2 . x 2 + y 2 + 4 . 2 x x 2 + y 2 + 4 2

Foram difícieis, mas as derivadas estão aí, prontas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Agora teremos que analisar o determinante para cada ponto crítico que encontramos, tudo bem? Sendo assim:

H 2 ,   0 = - 1 16 0 0 - 1 16   > 0

∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   0 = - 2 . 2 . 2 2 + 0 + 4 2 - - 2 2 + 0 + 4 . 2 . 2 2 + 0 + 4 . 2 . 2 2 2 + 0 2 + 4 4 = - 256 4096 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu positivo e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deu negativo, então temos que ( 2 ,   0 ) é um ponto de máximo.

H - 2 ,   0 = 1 16 0 0 1 16   > 0

∂ 2 f ∂ x 2 - 2 ,   0 = 256 4096 > 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deram valores positivos, então temos que - 2 ,   0 é um ponto de mínimo.

Ufa! Demorou, mas estão aí nossos pontos críticos e suas classificações!

Resposta

Pontos críticos: 2 ,   0 e ( - 2 ,   0 ) .

Classificação: Ponto de máximo e ponto de mínimo, respectivamente.

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