Enunciado

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x = ⏞ ∞ 0  

Neste tipo de indeterminação, podemos reescrever o problema:

e x - x 1 x = e l n e x - x 1 x = e 1 x . l n ⁡ ( e x - x )

Portanto o limite pode ser escrito como:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x = l i m x → 0 e 1 x . l n ⁡ ( e x - x )

Passo 3

Para isso devo saber para onde 1 x . l n ⁡ ( e x - x ) vai tender, para eu substituir na equação do limite e encontrar o resultado do mesmo. Assim :

l i m x → + ∞   1 x . l n ⁡ ( e x - x ) = ⏞ ∞ ∞   L ´ H = l i m x → + ∞   1 e x - x . ( e x - 1 ) 1 = ⏞ ∞ ∞   L ´ H

=   l i m x → + ∞   e x e x - 1 = ⏞ ∞ ∞   L ´ H l i m x → + ∞ 1 = 1

Passo 4

Assim, o valor do limite procurado é:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x = l i m x → 0 e 1 x . l n ⁡ ( e x - x ) = l i m x → 0 e 1 = e

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x = e

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