Enunciado

Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

int_0^(oo) r e^(- r x) d x = underset(t -> oo)(l i m) int_0^t r e^(- r x) d x

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = - r x , tal que d u = - r d x e a integral se dará por:

int e^u (- d u) = - e^u

Retornando à variável original:

= underset(t -> oo)(l i m) [- e^(- r x)] | [[t],[0]]

Substituindo os limites de integração:

= - underset(t -> oo)(l i m) [e^(- r t) - e^0] = 1

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_0^(oo) r e^(- r x) d x = 1

A integral é convergente.

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