Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x 2 = l i m t → ∞ ∫ e t d x x ln ⁡ x 2

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = ln ⁡ x , tal que d u = d x / x e a integral se dará por:

∫ d u u 2 = - 1 u

Retornando à variável original:

= l i m t → ∞ - 1 ln ⁡ x | t e

Substituindo os limites de integração:

= - l i m t → ∞ 1 ln ⁡ t - 1 ln ⁡ e = 1

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x 2 = 1

A integral é convergente.

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