Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

∫ - ∞ ∞ d x 9 + x 2

Para os casos em que o intervalo de integração possui ambos os extremos infinitos, deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas em zero. Assim, ela resultará em:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x 9 + x 2 + l i m b → ∞ ∫ 0 b d x 9 + x 2

Visto que as integrais podem ser reescritas como:

= lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x 3 2 + x 2 + l i m b → ∞ ∫ 0 b d x 3 2 + x 2

Obtém-se:

= lim a → - ∞ ⁡ 1 3 a r c t g x 3 0 a + l i m b → ∞ 1 3 a r c t g x 3 b 0

Substituindo os limites de integração:

= 1 3 lim a → - ∞ ⁡ a r c t g 0 - a r c t g a 3 + 1 3 l i m b → ∞ a r c t g b 3 - a r c t g 0

Passo 3

Como a curva da função y = a r c t g x é dada por:

Então,

= 1 3 ⁡ 0 - - π 2 + 1 3 π 2 - 0 = π 3

Passo 4

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ - ∞ ∞ d x 9 + x 2 = π 3

A integral é convergente.

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