Enunciado

Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

int_(- oo)^(oo) (d x)/(9 + x^2)

Para os casos em que o intervalo de integração possui ambos os extremos infinitos, deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas em zero. Assim, ela resultará em:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (d x)/(9 + x^2) + underset(b -> oo)(l i m) int_0^b (d x)/(9 + x^2)

Visto que as integrais podem ser reescritas como:

= underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (d x)/(3^2 + x^2) + underset(b -> oo)(l i m) int_0^b (d x)/(3^2 + x^2)

Obtém-se:

= underset(a -> - oo)(lim) [(1)/(3) a r c t g ((x)/(3))] [[0],[a]] + underset(b -> oo)(l i m) [(1)/(3) a r c t g ((x)/(3))] [[b],[0]]

Substituindo os limites de integração:

= (1)/(3) underset(a -> - oo)(lim) [a r c t g (0) - a r c t g ((a)/(3))] + (1)/(3) underset(b -> oo)(l i m) [a r c t g ((b)/(3)) - a r c t g (0)]

Passo 3

Como a curva da função y = a r c t g x é dada por:

Então,

= (1)/(3) [0 - (- (pi)/(2))] + (1)/(3) [(pi)/(2) - 0] = (pi)/(3)

Passo 4

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_(- oo)^(oo) (d x)/(9 + x^2) = (pi)/(3)

A integral é convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule: ∫ 0 + ∞ e - t sen ⁡ t d t
Calcule: ∫ - ∞ + ∞ e - xd x
Determine k para que se tenha ∫ - ∞ + ∞ e k td t = 1
Calcule: ∫ 1 + ∞ 1 x 4 3d x
Sejam α e s , s0 , reais dados. Verifique que ∫ 0 + ∞ e - s tt e α td t = 1 s - α 2( sα )