Nos Exercícios 23-26, determine dr/dtheta .

25. rsec(theta) cossec(theta)

Passo 1

d r d θ = d d θ sec ⁡ θ cossec ⁡ θ

Regra do produto:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Onde u = sec ⁡ θ e v = cos sec ⁡ θ :

d r d θ = ( cossec ⁡ θ ) d d θ sec ⁡ θ + sec ⁡ θ d d θ cossec ⁡ θ

A derivada de sec ⁡ θ é sec ⁡ θ tg ⁡ θ

E a derivada de cossec ⁡ θ é - cossec ⁡ θ cotg ⁡ θ

Então a função fica:

d r d θ = ( cossec ⁡ θ ) sec ⁡ θ tg ⁡ θ + sec ⁡ θ - cossec ⁡ θ cotg ⁡ θ

Passo 2

Para simplificar a equação vamos usar as relações:

cossec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ , sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ e tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ :

d r d θ = 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ 1 sin ⁡ θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

d r d θ = 1 cos 2 ⁡ θ - 1 sin 2 ⁡ θ

d r d θ = sec 2 ⁡ θ - cossec 2 ⁡ θ

Resposta

d r d θ = sec 2 ⁡ θ - cossec 2 ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados