Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

28. x y^2 + 2 y^3 = x - 2 y

Passo 1

Como não é possível separar essa equação, vamos derivar cada lado implicitamente:

(d)/(d x) (x y^2 + 2 y^3) = (d)/(d x) (x - 2 y)

Passo 2

Resolvendo primeiro o lado esquerdo, ficaremos com:

(d)/(d x) (x y^2 + 2 y^3) = (d)/(d x) (x y^2) + (d)/(d x) (2 y^3)

Vamos fazer o primeiro termo, aplicando a Regra do Produto:

(d)/(d x) (x y^2) = (d)/(d x) ( x ) y^2 + x (d)/(d x) ( y^2 )

A primeira derivada que apareceu dá pra resolver rapidamente, mas a segunda precisamos aplicar a Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora, que é a potência quadrada e não mexemos no y, e então multiplicamos pela derivada de y, que é a função de dentro:

(d)/(d x) (y^2) = 2 y y '

Nosso primeiro termo então será:

(d)/(d x) (x y^2) = y^2 + 2 x y y '

E o segundo termo

(d)/(d x) (2 y^3)

Precisa que a gente aplique a Regra da Cadeia mais uma vez. Então fazemos primeiro a derivada da potência e depois multiplicamos pela derivada da função de dentro, que é o y:

(d)/(d x) (2 y^3) = 6 y^2 y '

O lado esquerdo do Passo 1 então ficará:

(d)/(d x) (x y^2 + 2 y^3) = y^2 + 2 x y y^' + 6 y^2 y '

Passo 3

Vamos agora resolver o lado direito:

(d)/(d x) (x - 2 y) = (d)/(d x) (x) - (d)/(d x) ( 2 y )

Que é mais fácil que a primeira parte, e podemos fazer diretamente:

(d)/(d x) (x - 2 y) = 1 - 2 y '

Passo 4

Substituindo os dois lados lá no início da resolução ficaremos com:

(d)/(d x) (x y^2 + 2 y^3) = (d)/(d x) (x - 2 y)

y^2 + 2 x y y^' + 6 y^2 y ' = 1 - 2 y '

Separando y’, que é o que buscamos:

2 x y y^' + 6 y^2 y^' + 2 y^' = 1 - y^2

y^' (2 x y + 6 y^2 + 2) = 1 - y^2

y^' = (d y)/(d x) = (1 - y^2)/(2 x y + 6 y^2 + 2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1 - y^2)/(2 x y + 6 y^2 + 2)

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