Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.

35. Foco em ( - 1 ,   7 ) ; diretriz y = 3 .

Passo 1

Pela equação da reta diretriz dada é possível ver que ela é paralela ao eixo x.

Com essa informação podemos tirar que a parábola está em pé, então sua equação é algo do tipo:

x - h 2 = 4 p y - k

Olhando a localização do foco e a posição da reta diretriz, é possível ver que o foco está acima da reta diretriz, assim a parábola não pode ter concavidade para baixo, se não ela iria passar pela reta diretriz e o ponto dado como foco, não seria o foco da parábola , coisa que não faz sentido, logo ela tem concavidade voltada para cima.

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 2

Primeiro vamos achar o p, para isso precisamos lembrar que a distância entre o foco e a reta diretriz é igual a 2p.

Como sabemos que a reta diretriz é y = 1 para todo x, para achar o 2p basta fazer a diferença entre a coordenada y do foco e a reta diretriz, assim:

2 p = 7 - 3 ⇒ p = 7 - 3 2 = 4 2 = 2

Passo 3

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.

O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y. Para achar as coordenadas do vértice precisamos lembrar que a distância entre o vértice e o foco é igual a p. Como os dois estão na mesma reta em x, suas coordenadas x são as mesmas e a coordenada em y é dada por:

7 - p = 7 - 2 = 5

Assim: h = - 1           e           k = 5

Passo 4

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = 4 p y - k

x - ( - 1 ) 2 = 4 ⋅ 2 y - 5

x + 1 2 = 8 y - 5

Passo 5

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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