Responde Aí

Enunciado

Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s). Ache o instante em que a aceleração instantânea é zero e nesse instante determine a distância orientada a partir da origem e a velocidade instantânea.

38 .   s = 9 t 2 + 2 2 t + 1   ,   t   ≥ 0

Passo 1

Nesse exercício precisamos ter em mente duas coisas:

  1. O que temos.
  2. O que queremos.
  3. O que sabemos?

O que temos?

Temos a equação da posição da partícula.

O que queremos?

Saber em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero e qual a velocidade instantânea e a distância orientada nesse mesmo instante.

O que sabemos?

Sabemos que:

d s d t = v                                                                                               d ² s d t ² = d v d t = a

Ou seja, a derivada da posição é a velocidade instantânea e a derivada da velocidade (ou derivada de segunda ordem da posição) é a aceleração instantânea.

E com essas informações podemos resolver todo o exercício. Então vamos começar:

Passo 2

1º - Derivada de s.

s ' = 2 ⋅ 9 t + [ 2 ' ⋅ 2 t + 1 +   2 t + 1 ' ⋅ 2

            = 18 t + 2 1 2 2 t + 1 ⋅ 2

Nossa velocidade então é: v =   18 t + 2 2 t + 1

Passo 3

2º - Derivada de v.

v ' = 18 + 2 ' ⋅ 2 t + 1 - 2 t + 1 ' ⋅ 2 2 t + 1 ²

            = 18 + 1 2 t + 1 ⋅ 2 2 t + 1

            = 18 - 2 2 t + 1 3 2

Nossa aceleração então é: a = 18 - 2 2 t + 1 3 2

Passo 4

A primeira coisa que o enunciado nos pede é em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero.

Bom, como temos a equação da aceleração a única coisa que temos que fazer é substituir a por 0.

Ou seja: a = 0

  a =   18 - 2 2 t + 1 3 2 ⇒   0 = 18 - 2 2 t + 1 3 2

⇒ - 18 = - 2 2 t + 1 3 2

⇒ - 18 2 t + 1 3 2 = - 2

⇒ 2 t + 1 3 2 = 1 9

⇒ 2 t + 1 3   = 1 9

⇒ 2 t + 1 3 = 1 81

⇒ 2 t + 1 = 1 3 3 3

⇒ 2 t = 1 3 3 3 - 1

⇒ t = 1 6 3 3 - 1 2

Prontinho, achamos o instante t que é o primeiro item.

Passo 5

O próximo passo é descobrir qual a velocidade instantânea no instante t = e para isso vamos apenas substituir t na equação de velocidade.

v = 18 t + 2 2 t + 1

v 1 6 3 3 - 1 2 = 18 1 6 3 3 - 1 2 + 2 2 1 6 3 3 - 1 2 + 1

= 18 6 3 3 - 9 + 2 2 6 3 3 - 1   + 1

= 18 6 3 3 - 9 + 2 2 6 3 3

= 3 3 3 - 9 + 2 1 3 3 3

= 3 3 3 - 9 + 2 1 3 ⋅ 3 2 3 = 3 3 3 - 9 + 2 1 3 = 2,1 - 9 + 3,5 = - 3,4

Passo 6

A última coisa que o enunciado nos pede é a distância orientada nesse mesmo instante.

Sendo s a distância orientada, usaremos a equação nos dada no enunciado e substituiremos o vamos de t.

s t = 9 t 2 + 2 2 t + 1

s 1 6 3 3 - 1 2 = 9 1 6 3 3 - 1 2 2 + 2 2 1 6 3 3 - 1 2 + 1

= 9 0,12 - 0,5 2 + 2 2 0,12 - 0,5 + 1

= 9 - 0,38 2 + 2 2 - 0,38 + 1

= 9 ( 0,14 ) +2 - 0.76 + 1

= 1,26 + 2 0,24 = 1,26 + 2 0,5 = 2,26

Prontinho, achamos tudo o que queríamos!

Resposta

t = 1 6 3 3 - 1 2

v = - 3,4

s   = 2,26

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