Enunciado

Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s). Ache o instante em que a aceleração instantânea é zero e nesse instante determine a distância orientada a partir da origem e a velocidade instantânea.

39 .     s = 4 9 t 3 / 2 + 2 t 1 / 2 ,     t ≥ 0

Passo 1

Nesse exercício precisamos ter em mente duas coisas:

  1. O que temos.
  2. O que queremos.
  3. O que sabemos?

O que temos?

Temos a equação da posição da partícula.

O que queremos?

Saber em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero e qual a velocidade instantânea e a distância orientada nesse mesmo instante.

O que sabemos?

Sabemos que:

d s d t = v                                                                                               d ² s d t ² = d v d t = a

Ou seja, a derivada da posição é a velocidade instantânea e a derivada da velocidade (ou derivada de segunda ordem da posição) é a aceleração instantânea.

E com essas informações podemos resolver todo o exercício. Então vamos começar:

Passo 2

1º - Derivada de s.

s ' = 4 9 ⋅ 3 2 ⋅ t 1 2 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ t - 1 2

= 2 3 t 1 2 + t - 1 2

Nossa velocidade então é: v = 2 3 t 1 2 + t - 1 2

Passo 3

2º - Derivada de v.

v ' = 2 3 ⋅ 1 2 ⋅ t - 1 2 - 1 2 t - 3 2

= 1 3 t - 1 2 - 1 2 t - 3 2

Nossa aceleração então é: a = 1 3 t - 1 2 - 1 2 t - 3 2

Passo 4

A primeira coisa que o enunciado nos pede é em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero.

Bom, como temos a equação da aceleração a única coisa que temos que fazer é substituir a por 0.

Ou seja: a = 0

a = 1 3 t - 1 2 - 1 2 t - 3 2 ⇒   0 = 1 3 t - 1 2 - 1 2 t - 3 2

⇒ 1 2 t - 3 2 = 1 3 t - 1 2

⇒ 1 2 t 3 2 = 1 3 t 1 2

⇒ 3 2 = t 3 2 t 1 2 ⇒ 3 2 = t

Prontinho, achamos o instante t que é o primeiro item.

Passo 5

O próximo passo é descobrir qual a velocidade instantânea no instante t = e para isso vamos apenas substituir t na equação de velocidade.

v = 2 3 t 1 2 + t - 1 2

v 3 2 = 2 3 3 2 1 2 + 3 2 - 1 2

= 2 3 3 2 + 1 3 2

= 2 3 ⋅ 3 2 + 1 3 2

= 2 3 2 = 1,7

Passo 6

A última coisa que o enunciado nos pede é a distância orientada nesse mesmo instante.

Sendo s a distância orientada, usaremos a equação nos dada no enunciado e substituiremos o vamos de t.

s t = 4 9 t 3 2 + 2 t 1 2

s 3 2 = 4 9 3 2 3 2 + 2 3 2 1 2

= 4 9 3 2 3 + 2 3 2

= 4 9 9 ⋅ 3 4 ⋅ 2 + 2 3 2

= 4 9 ⋅ 3 2 3 2 + 2 3 2

= 2 3 3 2 + 2 3 2 = 8 3 3 2 = 3.2

Prontinho, achamos tudo o que queríamos!

Resposta

t = 3 2

v = 1,7

s   = 3.2

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