Enunciado

Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.

38. y = 1 + cos ⁡ x ,   - 3 π 2 ≤ x ≤ 2 π

x = - π / 3 ,   3 π / 2

Passo 1

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente, a certo ponto de uma função, é numericamente igual a derivada da função nesse ponto.

Então para sabermos a inclinação das retas tangentes ao pontos x = - π / 3 ,   π / 3 vamos calcular a derivada nesses pontos.

y ' x = - sen ⁡ x  

y ' - π / 3 = 3 / 2

y ' 3 π / 2 = 1

A equação da reta é da forma:

y = A x + B

Onde A é sua inclinação ou coeficiente angular, que já calculamos.

Para descobrirmos o valor de B só precisamos colocar uma valor para ( x , y ) que pertença a reta e o valor de A .

Como essas retas são tangentes a função y = 1 + cos ⁡ x nos pontos x = - π / 3 ,   3 π / 2 vamos usa-los:

No ponto   x = - π / 3 :

y - π / 3 = 1 + cos ⁡ - π / 3 = 3 / 2

Portanto temos o ponto ( - π / 3   ,   3 / 2 ) e A = 3 / 2 , calculando B :

3 2 = 3 2 - π 3 + B

B = π 3 6 + 3 2  

Logo a equação dessa reta é:

y = 3 2 x + π 3 6 + 3 2

No ponto   x = 3 π / 2 :

y 3 π / 2 = sec ⁡ 3 π / 2 = 2

Portanto temos o ponto ( π / 4   , 2 ) e A = 2 , calculando B :

2 = 2 ( π / 4 ) + B

B = - 2 π 4 + 2

Logo a equação dessa reta é:

y = 2 x - 2 π 4 + 2

O gráfico vai ficar dessa forma:

Resposta

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