Enunciado

Encontre as coordenadas de x de todos os pontos sobre a curva

y = sen ⁡ 2 x - 2 sen ⁡ x

nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

E aí, pessoal! 😬

Nesse problema queremos determinar os pontos de x que fazem a tangente da função y = sen ⁡ 2 x - 2 sen ⁡ x ser horizontal.

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para a reta tangente ser horizontal temos a condição que:

f ' x = 0

Então vamos calcular a derivada de f ( x ) e igualar a expressão a 0 , assim vamos encontrar todos os pontos, vamos lá!

Passo 2

Vamos usar algumas regras, temos logo de primeira a da subtração:

f x - g x ' = f ' x - g ' ( x )

Aplicando, temos que:

f ' x = sen ⁡ 2 x - 2 sen ⁡ x ' = sen ⁡ 2 x ' - 2 sen ⁡ x '

Agora vamos resolver as duas separadamente e depois é só voltar na expressão e substituir os valores que acharmos, vai ser simples!!

Passo 3

Na primeira vamos utilizar além da regra da função trigonométrica seno, a regra da cadeia:

F ' x = f ' g x . g ' x

Vamos lá então:

sen ⁡ 2 x ' = cos ⁡ 2 x 2 x ' = cos ⁡ 2 x . 2 x 1 - 1 = cos ⁡ 2 x . 2 x 0 = cos ⁡ 2 x . 2.1

sen ⁡ 2 x ' = 2 cos ⁡ 2 x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

Na segunda derivada vamos usar a regra da multiplicação por constante e da função trigonométrica seno:

Da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Da função trigonométrica seno:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Vamos aplicar!!

2 sen ⁡ x ' = 2 . sen ⁡ x '

2 sen ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x

Bacana, não é? 😎

Passo 5

Pronto, agora é só substituir tudo de volta, como eu falei:

f ' x = sen ⁡ 2 x ' - 2 sen ⁡ x ' = 2 cos ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ x = 2 2 cos 2 ⁡ x - 1 - 2 cos ⁡ x = 4 cos 2 ⁡ x - 2 cos ⁡ x - 2 = cos ⁡ x - 1 4 cos ⁡ x + 2

Por último é só igualar a expressão de f ' ( x ) que achamos a 0 :

cos ⁡ x - 1 4 cos ⁡ x + 2 = 0 ↔ cos ⁡ x = 1 ou cos ⁡ x = - 1 2

Temos então que:

x = 2 n π ou x = 2 n + 1 + π 3

para qualquer inteiro n .

Escolhendo n = 0 para achar o valor da função em f , temos:

f 0 = sen ⁡ 2.0 - 2 sen ⁡ 0 = 0 - 2.0 = 0

f 1 + π 3 = sen ⁡ 2 1 + π 3 - 2 sen ⁡ 1 + π 3 = + - 1 2 = 0,848 - 2.0,874 = - 9 10

Assim, os pontos são:

2 n π ,   0 e 2 n + 1 + π 3 , - 9 10

Para qualquer valor n inteiro.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

2 n π ,   0 e 2 n + 1 + π 3 , - 9 10

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