Enunciado

Em quais pontos da curva y = c o s h c o s h   x   a tangente tem inclinação 1 ?

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão quer que calculemos os pontos da curva y = c o s h c o s h   x   em que a tangente tem inclinação 1 .

O conceito chave aqui é lembrar que a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto.

Para saber os pontos devemos calcular a derivada da função e aplicar em 1 :

y ' = c o s h c o s h   x   '

Sabemos pela regra da derivação de funções hiperbólicas que:

c o s h c o s h   x   ' = x  

Vamos então agora aos cálculos!!

Passo 2

Temos então que a derivada da função é igual à inclinação da tangente:

y ' = c o s h c o s h   x   ' = x   = 1

Então:

x = 1  

Agora podemos usar a seguinte fórmula:

s e n h - 1 x = l n l n   x + x 2 + 1  

Então é só substituir, vamos lá:

x = 1   = l n l n   1 + 1 2 + 1   = l n l n   1 + 2  

Passo 3

Agora vamos achar o valor do par de x = l n l n   1 + 2   na função:

y = c o s h c o s h   x  

Aqui temos que:

c o s h c o s h   x   = 1 + x  

E, como do passo 2 temos:

x   = 1

Assim, podemos substituir aqui:

y = c o s h c o s h   x   = 1 + x   = 1 + 1 2 = 2

Assim o ponto é l n l n   1 + 2   , 2 .

Resposta

l n l n   1 + 2   , 2

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