Enunciado

Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados 14 m, na forma da catenária y = 20 cosh ⁡ x 20 - 15 , em que x e y são medidas em metros.

  1. Encontre a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita.
  2. Encontre o ângulo θ entre a resta tangente e o poste.

Passo 1

  1. Para achar a inclinação devemos derivar a expressão, assim:
  2. y ' = 20 cosh ⁡ x 20 - 15 '

    Vamos usar inicialmente a regra da subtração:

    y ' = 20 cosh ⁡ x 20 - 15 ' = 20 cosh ⁡ x 20 ' - 15 '

    Vamos derivar os termos separadamente.

    Passo 2

    Para derivar o primeiro termo vamos usar algumas regras, a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas, da multiplicação por constante, do polinômio e da cadeia:

    cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

    k f x ' = k f ' ( x )

    x n ' = n x n - 1

    F ' x = f ' g x . g ' x

    Vamos aplicar as regras então:

    20 cosh ⁡ x 20 ' = 20 cosh ⁡ x 20 ' = 20 . senh ⁡ x 20 . x 20 ' = 20 . senh ⁡ x 20 . x 1 - 1 20 = 20 . senh ⁡ x 20 . 1 20 = senh ⁡ x 20

    Para derivar o segundo termo vamos usar a regra da constante:

    c ' = 0

    Assim, ficamos com:

    15 ' = 0

    Passo 3

    Vamos agora voltar a expressão original:

    y ' = 20 cosh ⁡ x 20 ' - 15 ' = senh ⁡ x 20 - 0 = senh ⁡ x 20

    Como é pedido a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita, isso se enconta em x = 7 , assim vamos substituir esse valor na derivada que acabamos de achar:

    y ' ( 7 ) = senh ⁡ x 20 = senh ⁡ 7 20

    Para calcular senh ⁡ 7 20 devemos usar a expressão abaixo:

    senh ⁡ x = e x - e - x 2

    Vamos lá então:

    y ' 7 = senh ⁡ 7 20 = e 7 20 - e - 7 20 2 = 0,357

    Passo 4

  3. Temos que α é o ângulo entre a linha tangente e o eixo x , então tg ⁡ α = inclinação = senh ⁡ 7 20

Então temos que:

tg ⁡ α = se nh ⁡ 7 20 → α = tg - 1 ⁡ se nh ⁡ 7 20

Temos que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Vamos substituir então:

α = tg - 1 ⁡ senh ⁡ 7 20 = tg - 1 ⁡ e 7 20 - e - 7 20 2 = 19,66 °

E pela figura temos que:

θ = 90 ° - α = 90 ° - 19,66 ° = 70,34 °

Resposta

  1. y ' 7 = 0,357
  2. θ = 70,34 °
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do
49. Ache equações das retas tangentes à cruva x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 nos pontos onde x = - 1 8
Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do
56. Qual é a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola y = 4 - x 2 em algum ponto
3. Suponha que a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto ( 2,5 ) tenha a equação y = 9 - 2 x . Se for usado o método de Newton para localizar uma raiz da equação f x = 0 com aproximação inicial x 1