Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 51
Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados m, na forma da catenária , em que e são medidas em metros.
- Encontre a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita.
- Encontre o ângulo entre a resta tangente e o poste.
Passo 1
- Para achar a inclinação devemos derivar a expressão, assim:
- Temos que é o ângulo entre a linha tangente e o eixo , então inclinação
Vamos usar inicialmente a regra da subtração:
Vamos derivar os termos separadamente.
Passo 2
Para derivar o primeiro termo vamos usar algumas regras, a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas, da multiplicação por constante, do polinômio e da cadeia:
Vamos aplicar as regras então:
Para derivar o segundo termo vamos usar a regra da constante:
Assim, ficamos com:
Passo 3
Vamos agora voltar a expressão original:
Como é pedido a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita, isso se enconta em , assim vamos substituir esse valor na derivada que acabamos de achar:
Para calcular devemos usar a expressão abaixo:
Vamos lá então:
Passo 4
Então temos que:
Temos que:
Vamos substituir então:
E pela figura temos que:
Resposta
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