Enunciado

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma rosácea visto que ela tem a forma de:

r = a s e n n θ

Além disso, como n é par neste caso, a rosácea terá 2 n pétalas sendo que metade da primeira pétala é formada no intervalo [ 0 ,   π / 4 ] . Com isso, o comprimento total se dará por 4 n

Vezes o resultado obtido (onde n = 2 para este exercício).

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 8 1 2 ∫ 0 π / 4 3 s e n 2 θ 2 d θ

A = 4 ∫ 0 π / 4 9 s e n 2 2 θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Então:

A = 36 ∫ 0 π / 4 1 - cos ⁡ 4 θ 2 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 36 θ 2 - s e n 4 θ 8 | π / 4 0

E substituindo os limites de integração:

A = 36 π / 4   2 - s e n π 8

Logo:

A = 9 π 2   u . a .

Resposta

9 π 2   u . a .

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