Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

60. y = (3t - 4 / 5t + 2)^-5

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função precisaremos de duas regras: a regra da cadeia e a regra do quociente (considerando que seja bem trivial a regra da potenciação), ok? A regra da cadeia utilizaremos para derivar a função mais externa, que está elevada ao cubo. No entanto, uma hora ou outra precisaremos encontrar a derivada da função mais interna, que é aquela divisão ali. A regra do quociente nos diz o seguinte:

g =   u v

g ' = u ' . v - u . v ' v ²

Onde v e u são funções de t , beleza? Sabendo disso, já conseguimos derivar esse trem aí de boas, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivarmos a função mais externa, teremos:

d y d t = - 5 . 3 t - 4 5 t + 2 - 6 . 3 t - 4 5 t + 2 '

Como já comentado, só precisamos determinar agora a derivada daquela divisão, ok? Fazendo:

u = 3 t - 4   ⇒ u ' = 3

v = 5 t + 2   ⇒ v ' = 5

Passo 3

Agora que temos todos os valores, basta que utilizemos a regra do quociente para determinar a derivada dessa divisão. Fazendo isso, temos que:

g ' = u ' . v - u . v ' v ²

g ' =   3 . 5 t + 2 - 3 t - 4 . 5 ( 5 t + 2 ) ²

Substituindo em d y d t , teremos:

d y d t = - 5 . 3 t - 4 5 t + 2 - 6 . 3 . 5 t + 2 - 3 t - 4 . 5 5 t + 2 2

∴ d y d t =   - 15 . ( 3 t - 4 ) - 6 ( 5 t + 2 ) - 5 + 25 . ( 3 t - 4 ) - 5 ( 5 t + 2 ) - 4

Resposta

d y d t =   - 15 . ( 3 t - 4 ) - 6 ( 5 t + 2 ) - 5 + 25 . ( 3 t - 4 ) - 5 ( 5 t + 2 ) - 4

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