Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

67. y = t \* g^2(sen^3 t)

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos essa derivada precisaremos aplicar a regra da cadeia duas vezes seguidas! A primeira regra da cadeia é para derivar a função mais externa, que é a da função tangente. A segunda regra é para derivar a função mais interna, que é a função seno. A regra da cadeia nos diz que:

d y d t = d y d u × d u d t

Sabendo disso já podemos resolver a derivada, se liga!

Passo 2

Aplicando a primeira vez, teremos:

d y d t = 2 . t g s e n 3 t . s e c 2 s e n 3 t . ( s e n 3 t ) '

Essa primeira regra foi aplicada de forma direta porque da segunda vez que formos aplicar os passos estarão mais explícitos, beleza?

Passo 3

Agora, assim como já comentado, só precisamos determinar a derivada da função mais interna, que é aquela função seno ali! Utilizando a regra da cadeia, teremos:

g x = s e n 3 t

u = s e n   t   ⇒   d u d t = cos ⁡ t

g = u 3 ⇒   d g d u = 3 u 2

Aplicando na regra, teremos:

d g d t = d g d u × d u d t

d g d t = 3 u 2 . cos ⁡ t

∴ d g d t = 3 . s e n 2 t . cos ⁡ t

Passo 4

Agora que encontramos tudo, só precisamos substituir os resultados na derivada que queremos:

d y d t = 2 . t g s e n 3 t . s e c 2 s e n 3 t . ( s e n 3 t ) '

d y d t = 2 . t g s e n 3 t . s e c 2 s e n 3 t . ( 3 . s e n 2 t . cos ⁡ t )

∴ d y d t = 6 . t g s e n 3 t . s e c 2 s e n 3 t . s e n 2 t . cos ⁡ t

Resposta

d y d t = 6 . t g s e n 3 t . s e c 2 s e n 3 t . s e n 2 t . cos ⁡ t

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