Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

31 . ∫ s e n 5 n x d x

Passo 1

Para resolvermos essa integral vamos aplicar uma substituição que vai nos facilitar:

u = n x

d u = n d x ⇒ d u n = d x

Passo 2

Aplicando a substituição em nossa integral, ficamos com:

1 n ∫ s e n 5 u d u = 1 n ∫ s e n 4 u s e n u d u

= 1 n ∫ s e n 2   u 2 s e n u d u

Passo 3

Agora vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que vai nos ajudar agora.

s e n 2 u = 1 - cos 2 ⁡ u

Aplicando a identidade, ficamos com:

1 n ∫ 1 - cos 2 ⁡ ( u ) 2 s e n u d u

Passo 4

Agora para continuarmos a resolver, vamos aplicar outra substituição.

s = cos ⁡ u

d s = - s e n   u   d u ⇒ - d s = s e n   u   d u

Passo 5

Aplicando a substituição em nossa integral, ficamos com:

1 n ∫ - 1 - s 2 2   d s = - 1 n ∫ ( 1 - 2 s 2 + s 4 ) d s

= - 1 n ∫ d s - ∫ 2 s 2   d s + ∫ s 4   d s

= - 1 n s - 2 3 s 3 + s 5 5

= - s n + 2 s 3 3 n - s 5 5 n

Passo 6

Agora revertendo as substituições feitas, para obter o resultado na variável que desejamos.

s = cos ⁡ u

- s n + 2 s 3 3 n - s 5 5 n = - cos ⁡ u n + 2 cos 3 ⁡ u 3 n - cos 5 ⁡ u 5 n

u = n x

- cos ⁡ u n + 2 cos 3 ⁡ u 3 n - cos 5 ⁡ u 5 n = - cos ⁡ n x n + 2 cos 3 ⁡ n x 3 n - cos 5 ⁡ n x 5 n

Resposta

∫ s e n 5 n x d x = - cos ⁡ n x n + 2 cos 3 ⁡ n x 3 n - cos 5 ⁡ n x 5 n + c

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida. ∫ 0 π x cos ⁡ ( x 2 )   d x
Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e n   x + sec ⁡ x d x
Calcule a integral. ∫ 1 + e x d x
Calcule a integral ∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x s e n   x cos ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ e 2 x 1 + e x d x
Calcule a integral ∫ 1 x + x 3 d x
Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equival...
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin ⁡ 2 θ 5 - sin ⁡ θ d θ
Calcule a integral. ∫ x x + c 3   d x