Calcule a integral ∫ e x 3 d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = x   3 → x = u 3

d x = 3 u 2 d u

Voltando para a integral:

∫ e x 3 d x

∫ e u   3 u 2 d u

Ainda não podemos resolver logo a integral, então faremos outra substituição de forma diferente agora do tipo u.dv ou integração por partes:

w =   u 2

d v = e u d u

d w = 2 u   d u

v = e u

Aplicando na integral:

3 ∫ e u u 2 d u

w v -   ∫ v   d w

3 u 2 e u - ∫ e u   2 u   d u

Mais uma vez teremos que usar integração por partes, logo:

∫ e u   2 u   d u

w = u   → d w = d u

d v =   e u   → v = e u  

Voltando para a integral, teremos:

2 u e u - ∫ e u d u

3 u 2 e u - 6 u e u + 6 e u + C

3 e u u 2 - 2 u + 6 + C

Voltando a variável inicial, temos:

3 e u u 2 - 2 u + 6 + C

3 e x   3 x   3 2 - 2 x   3 + 2 + C

Resposta

3 e x   3 x   3 2 - 2 x   3 + 2 + C

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