Calcule a integral ∫ t 3 e - 2 t d t .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição do tipo u.dv ou integração por partes, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u =   t 3

d u = 3 t 2 d t

d v =   e - 2 t d t

v = -   1 2 e - 2 t

Aplicando na integral:

∫ t 3 e - 2 t d t

u v -   ∫ v   d u

-   1 2 e - 2 t   t 3 + 1 2 ∫ 3 t 2 e - 2 t   d t

Como voltamos a mesma integral inicial do problema, vamos repetir tudo outra vez okay?

u =   3 t 2

d u = 2 t d t

d v =   e - 2 t d t

v = -   1 2 e - 2 t

Aplicando na integral novamente teremos:

-   1 2 e - 2 t   t 3 + 1 2 -   1 2 e - 2 t   3 t 2 + 1 2 ∫ 3 t e - 2 t d t

-   1 2 e - 2 t   t 3 - 3 4 e - 2 t t 2 + 1 2 ∫ 3 t   e - 2 t d t

É galerinha ainda não podemos resolver essa integral de forma direta, mais uma vez teremos que fazer integração por partes, mas eu juro que essa é a ultima vez, vamos?

u = t

d u = d t

d v =   e - 2 t d t

v = -   1 2 e - 2 t

Aplicando novamente na integral...

-   1 2 e - 2 t   t 3 - 3 4 e - 2 t t 2 + 3 2 -   1 2 e - 2 t t +   1 2 ∫ e - 2 t d t

Resolvendo tudo isso, ficará assim:

-   1 2 e - 2 t   t 3 - 3 4 e - 2 t t 2 - 3 4 e - 2 t t - 3 8 e - 2 t + C

- 1 8 e - 2 t 4 t 3 + 6 t 2 + 6 t + 3 + C

Resposta

- 1 8 e - 2 t 4 t 3 + 6 t 2 + 6 t + 3 + C

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