Enunciado

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

25 )   h t = ln ⁡ ( tgh ⁡ t )

Passo 1

Quando a gente olha uma função deste tipo, já dá um pouquinho de medo ! Mas calma, que é bem tranquilo !

Se nós lembrarmos do Teorema 8.4.5:

D x   tgh ⁡ u = s e c h ²   u . D x u

Legal, já sabemos como derivar a tangente hiperbólica, mas não é bem isso que queremos, já que temos a tangente hiperbólica dentro do ln. Então o que fazemos?

Podemos usar a Regra da Cadeia que vai nos ajudar bastante. Ela nos diz para derivar a função “de fora” e multiplicar pela derivada da “de dentro”, ou seja:

h ' ( t ) = D t   ln ⁡   tgh ⁡ t . D x   tgh ⁡ t

Vamos por parte:

D t   ln ⁡ ( tgh ⁡ t ) = 1 t g h   t

Muito bem! Para derivar a função seno hiperbólico podemos chamar:

u = t

Nós precisamos de D t u , então vamos derivar nosso u:

D t u = 1

Para acabar, é só substituir:

h ' t = 1 t g h   t . s e c h ²   t

Vamos usar as identidades para simplificar a equação:

t g h   t = s en h ⁡ t cosh ⁡ t

sech ⁡ t = 1 cosh ⁡ t

Jogando na derivada:

h ' ( t ) = cosh ⁡ t s e n h   t . 1 cosh ² ⁡ t

h ' ( t ) = 1 senh t . cosh ⁡ t

Aqui podemos usar uma terceira identidade:

senh t . cosh ⁡ t = s e n h   2 t 2  

Substituímos:

h ' ( t ) = 2 s e n h   2 t

Caalma que ainda não acabamos. Nós queremos simplificar isso ao máximo, e para isso nós podemos usar uma última identidade:

c o s e c h   2 t = 1 s e n h   ( 2 t )

Agora sim,

h ' ( t ) = 2 c o s e c h   ( 2 t )

Resposta

h ' t = 2 . c o s e c h   ( 2 t )

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Ache a derivada da função dada: f x = tgh - 1 ⁡ sen ⁡ x
Ache a derivada da função: h w = w 2 senh - 1 ⁡ 2 w
Ache a derivada da função dada: f x = sech - 1 ⁡ e - 2 x
O gráfico da equação abaixo é chamado de tratroz, x = a senh - 1 ⁡ a 2 y 2 - 1 - a 2 - y 2 Prove que a inclinação da curva em qualquer ponto ( x ,y ) é: - y a 2 - y 2
Faça um esbolo do gráfico da função:A função inversa da secante hiperbólica