Prove o Teorema 2.9.1, se a < 0 .

Passo 1

O domínio de f   é o conjunto de todos os números reais, exceto 0. Logo - a está dentro do domínio de f . Assim teremos que provar lim x → - a ⁡ 1 x = - 1 a .

Passo 2

Usando a Definição 2.1.1 obtemos

Se 0 < x - - a < δ   , então 1 x - - 1 a < ϵ

Se 0 < x + a < δ   , então 1 x + 1 a < ϵ

Como

1 x + 1 a = a + x a x

= a + x a x

= a + x ∙ 1 a x (pois a < 0 )

Assim podemos reformular a expressão como sendo

Se 0 < x + a < δ   , então a + x ∙ 1 a x < ϵ

Passo 3

Como agora temos, além de a + x temos o fator 1 a x . Para provr a existência do limite vamos restringir δ   pra obter uma desigualdade envolvendo 1 a x . Escolhendo o intervalo aberto exigido pela Definição 2.1.1 como sendo 1 2 a ,   3 2 a   , que contém a , mas não 0, estamos exigindo

δ ≤   1 2 a . Então,

0 < x + a < δ e δ ≤   1 2 a

x + a < 1 2 a

- 1 2 a < x + a < 1 2 a

- 3 2 a < x < - 1 2 a

1 2 a < x < 3 2 a (pois a < 0 )

2 3 a < 1 x < 2 a

2 3 a 2 < 1 a x < 2 a 2

1 a x < 2 a 2

Passo 4

Tendo 1 a x < 2 a 2 e 0 < x + a < δ podemos mostrar que x + a 1 a x < 2 a 2 δ

Primeiro manipulamos x < 2 a 2

1 a x < 2 a 2 δ

1 a x δ < 2 a 2 δ

Agora manipulamos 0 < x + a < δ

0 < x + a < δ   1 a x

0 < x + a 1 a x < δ   1 a x

0 < x + a 1 a x < δ   1 a x e 1 a x δ < 2 a 2 δ temos que x + a 1 a x < 2 a 2 δ

Passo 5

Como queremos achar x + a 1 a x < ϵ e a afirmativa acima indica que devemos requerer 2 a 2 δ ≤   ϵ , isto é δ ≤ a 2 2 ϵ . Assim devemos aplicar duas restrições e δ ≤ 1 2 a e δ ≤ a 2 2 ϵ . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar δ como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

x + a 1 a x < 2 a 2 δ

x + a 1 a x < 2 a 2 a 2 2 ϵ , pois δ ≤ a 2 2 ϵ

x + a 1 a x < ϵ

Passo 6

Demonstramos que tomar δ como o menor dos dois números para 0 < ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se 0 < x + a < δ   , então a + x ∙ 1 a x < ϵ

O que prova que lim x → - a ⁡ 1 x = - 1 a , ou seja, lim x → a ⁡ 1 x = 1 a para a < 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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