Enunciado

Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas.

10 , resolvendo a equação x 2 - 10 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 2 x

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 4 = 6 > 0 e f 3 = - 1 < 0 . Temos uma raiz no intervalo 3 < x < 4 . Portanto, vamos usar o valor x 1 = 3,1 para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 3,1 - - 0,39 6,2

x 2 = 3,16290

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 3,16290 - 0,0 0396 6,32581  

x 3 = 3,16228

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = 3,16228 - 0,000 01 6 , 32456  

x 4 = 3,16228

Resposta

Ou seja, o valor de 10 , com aproximação de cinco casas decimais, é:

x = 3,16228

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Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 3 - 4 x 2 + 2 = 0
Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 5 - x + 1 = 0
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 2 x + 7 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a menor raiz positiva
Baseado no algoritmo de Newton, escreva um algoritmo para este método;Aplique na resolução da equação x 3 - 9 x + 3 = 0 , x 0 = - 1,275 , λ = 0,05 e ε = 0,05 .