Enunciado

Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.

25. ∫ x 2 - 1 x 2 + 1 d x

Passo 1

Queremos integrar a função f x =   x 2 - 1 x 2 + 1 .

Passo 2

Podemos simplificar a integral para que fique mais fácil de integrar da seguinte forma:

∫ x 2 - 1 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 d x

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, temos:

∫ x 2 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 x 2 + 1 d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x

Podemos agora resolver as integrais separadamente.

Passo 3

Para a integral:

- ∫ 1 x 2 + 1 d x

Pela tabela de integral no final do livro temos:

Aqui, as integrais são conhecidas, dessa forma as integrais separadas são as seguintes:

- ∫ 1 x 2 + 1 d x = - arctan ⁡ x

Passo 4

Para a integral:

∫ x 2 x 2 + 1 d x

Pelo meto da substituição, temos que:

tan ⁡ θ = x 1

tan ⁡ θ = x

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Agora substituímos na integral.

∫ x 2 x 2 + 1 d x = ∫ tan 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Sabemos das relações trigonométricas que tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , assim podemos substituir no denominador.

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Gora podemos simplificar:

∫ tan 2 ⁡ θ d θ

Não sabemos resolver a integral de tan 2 ⁡ θ mas podemos substitui pela relação citada acima.

∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Sabemos que a integras da soma é assoma das integrais, então podemos dividir em duas integrais.

∫ ( sec 2 ⁡ θ ) d θ + ∫ ( - 1 ) d θ

Agora temos duas integrais que sabemos resolver.

∫ ( sec 2 ⁡ θ ) d θ = tan ⁡ θ

e

∫ ( - 1 ) d θ = - θ

Agora colocamos e função de x   novamente, temos da substituição que fizemos que:

tan ⁡ θ = x

Queremos saber também quem é θ usando a relação acima e função arco tangente dos dois lados temos:

θ = arctan ⁡ x

Temos então que:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = x - arctan ⁡ x

Passo 5

Temos então que:

∫ x 2 - 1 x 2 + 1 d x = x - arctan ⁡ x - arctan ⁡ x + c = x - 2 arctan ⁡ x + c

Resposta

∫ x 2 - 1 x 2 + 1 d x = x - 2 arctan ⁡ x + c

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4. Calcule b )∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x 2d x
6. Calcule c ) ∫ sin 2 ⁡ 3 xd x
6. Calcule h ) ∫ ( sin ⁡ x - cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule e ) ∫ cos 4 ⁡ xd x
10. Calculea) ∫ t g x d x