Resolve a integral abaixo:

38 –

∫ sec 4 ⁡ x   t g 2   x   d x

Passo 1

∫ sec 4 ⁡ x   t g 2   x   d x

Expandindo a integral:

∫ sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x   t g 2 x

Dado: sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

∫ 1 + t g 2 x sec 2 ⁡ x   t g 2 x   d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição udu:

u = t g   x

d u = sec 2 ⁡ x

d x = 1 d u = 1 sec 2 ⁡ x

∫ 1 + u 2 sec 2 x ⁡ ⋅ 1 sec 2 ⁡ x ⋅ u 2   d u =   ∫ 1 + u 2 u 2 d u

Resolvendo a multiplicação:

∫ u 2 + u 4   d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

u 3 3 + u 5 5 + c

Substituindo dado: u = t g   x

t g 3 x 3 + t g 5 x 5 + c = 1 5 t g 5 x +   1 3 t g 3 x + c

Resposta

1 5 t g 5 x +   1 3 t g 3 x + c

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