Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = 1 / 2 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 2 × 1 2 2 + 1 2 - 1 4 × 1 2 2 - 4 × 1 2 + 1

Fazendo as contas:

L = 1 2 + 1 2 - 1 1 - 2 + 1

Logo,

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

L = lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → 1 / 2 ⁡   2 × 2 x + 1 2 × 4 x - 4

Assim,

L = lim x → 1 / 2 ⁡   4 x + 1 8 x - 4

Se fizermos x = 1 / 2   :

L = 4 × 1 2 + 1 8 × 1 2 - 4

Simplificando:

L = 5 0

Portanto, como o denominador deu zero e o numerador deu positivo. Então, nosso limite será .

Resposta

lim x → 1 / 2 ⁡   2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1 = ∞

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x +
Se f ' for contínua, use a regra de L’Hospital para mostrar que lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x - h ) 2 h = f ' ( x )
Se f ' for contínua, f 2 = 0 e f ' 2 = 7 , calcule lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f ( 2 + 5 x ) x
Se f ' ' for contínua, mostre que lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = f ' ' ( x )
Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida? lim x → 0 ⁡ s e n2 x x 3 + a + b x 2 = 0