Enunciado

  1. Baseado no algoritmo de Newton, escreva um algoritmo para este método;
  2. Aplique na resolução da equação x 3 - 9 x + 3 = 0 , x 0 = - 1,275 , λ = 0,05 e ε = 0,05 .

Passo 1

Faaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

A primeira coisa que o exercício no dá é uma comparação de um novo método com o método de Newton, onde ele insere uma variável que indica uma proximidade com zero. Quando o método de Newton se aproxima de zero se sente uma dificuldade de efetuar os cálculos, então é feita uma medida corretiva para suprir essa falta, o livro nos diz que:

F L = f ' x k ,   s e   f ' x k > λ f ' x w ,   c a s o   c o n t r á r i o

Onde teremos que x w é a última aproximação obtida ta que f ' x w ≥ λ

Então, bora lá resolver!

Passo 2

A primeira coisa que o exercício pede é o esboço do algorítmo, ou código do método. Que pode ser dado assim:

  1. Defina f x ,   f ' x   e   ε > 0   ( t o l e r â n c i a ) .
  2. Escolha ou dê entrada para x 0 que é a solução inicial, defina o laço de repetição começando com i = 0 . Onde uma variável diz “Faça=pare”, caso contrário passe para o próximo passo.
  3. Quando passar para o próximo passo, o programa calcula o novo x k + 1   , então definimos:
    1. x i + 1 = x j - f ( x i ) f ' x i
    2. Aqui definimos outra condição, se x i + 1 - x k < ε , então pare. Se não i = 1 + 1 .
  4. O último passo diz que “Se f ' x k ≤ λ " , então f ' ( x k ) será substituído por f ' ( x w ) .

Passo 3

Agora, o exercício pede para calcularmos o polinômio x 3 - 9 x + 3 = 0 , x 0 = - 1,275 , λ = 0,05 e ε = 0,05 .

Então bora lá. Vou fazer a primiera iteração, e as próximas vão ficar gravadas na nossa tabelinha marota. A primeira coisa que faremos é calcular a derivada de f ( x ) .

Se:

f x = x 3 - 9 x + 3 = 0

f ' x = 3 x 2 - 9

O primeiro passo de cada iteração é calcular o valor da função e da derivada no x i .

Como x i = x o = - 1,275 . Calcularemos:

f - 1,275 = 12,40

f ' - 1,275 = - 4,123

Com isso, podemos calcular o novo x i + 1 , que é dado por:

x i + 1 = x 0 + 1 = 1 = x i - f x i f ' x i

Calculando no primeiro passo:

x i + 1 = 1,7325

O erro será a diferença entre os dois pontos, que deve ser menor que 0,05 :

x i + 1 - x i = 1,7325 - ( - 1,275 ) = 3

Como o erro é muito maior que 0,05 , passamos para a próxima iteração, onde o x i + 1 passa a ser o x 1 , e calculamos tudo outra vez:

Resposta

x 8 = 2,8169   ,   E r r o < 0,05

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Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 3 - 4 x 2 + 2 = 0
O polinômio p ( x ) = x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1,1).Verifique que x 1 ∈ ( - 1 , - 0.75 ) ,x 2 ∈ ( - 0.75 , - 0.25 ) ,x 4 ∈ ( 0.3,0.8 )ex 5 ∈ ( 0.8,1 ) .
Seja f ( x ) = x e - x - e - 3 verifique gráfica e analiticamente que f(x) possui um zero no intervalo [0,1]; justifique teoricamente o comportamento da seqüência {xk} colocada a seguir, gerada pelo m
Seja a equação f ( x ) = x - x l n ( x ) = 0 . Construa tabelas como as dos exemplos do final do capítulo para a raiz positiva dessa equação. Use ϵ = 1 0 - 5 . Compare os diversos métodos considerando