Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( n + 1 - n )  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja o termo geral da sequência dado por:

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n  

Note que, ao racionalizarmos tal expressão pelo seu conjugado, obtemos:

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n   1 ∙ n + 1 + n   n + 1 + n =     ∑ n = 1 ∞ 1   n + 1 + n

Para verificar se ela converge vamos aplicar o teste da integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1   n + 1 + n = 2 3 n + 1 3 2 - n 3 2 = 2 3 ∙ ∞ =   ∞

Sendo assim, a série diverge.

Porém, veja que a sequência a n =   1   n + 1 + n é positiva para todo n. Portanto a sequência u n é decrescente. Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1   n + 1 + n = 0

Como a sequência a n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Sendo assim, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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Quantos termos da série precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?26- ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n e r r o0.002