Enunciado

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

12. x = c o s   t , y = 1 + s e n   t ,   t   = π / 2

Passo 1

Fala, pessoal! Bora lá, para mais uma?

Para resolver essa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = π / 2 , nós temos o ponto

x = c o s   π 2 = 0  

e

y = 1 + s e n     π 2 = 2

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 0,2 ) .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = - s e n   t

d y d t = c o s t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = c o s   t - s e n   t = - c o t t

Com isso, podemos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 0,2 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é - c o t t | t = π / 2 = 0 :

y - 2 = 0 ⋅ ( x - 0 )

⇒ y = 2

Passo 4

Por último, mas não menos importante, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = - c s c 2 t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = -   c s c 2 t -   s e n   t = c s c 3 t

Aplicando no ponto t = π / 2 , nós temos

d 2 y d x 2 = c s c 3 t | t = π / 2 = 1

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 2

d 2 y d x 2 = 1

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