Enunciado

Nos Exercícios 13-26, encontre uma fórmula para o n -ésimo termo da sequência.

5 1 , 8 2 , 11 6 , 14 24 , 17 120 , … (Inteiros diferindo por 3 divididos por fatoriais.)

Passo 1

Olá pessoal, estou feliz em te ver por aqui. Vem comigo!

Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

As sequências podem ser descritas pelas regras que especificam seus termos, como:

Ou ainda podemos listar os termos:

a n = 1 , 2 ,   3 ,   … , n ,   …

b n = 1 , - 1 2 , 1 3 , - 1 4 ,   … , - 1 n + 1 ∙ 1 n ,   …

c n = 0 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,   … , n - 1 n ,   …

d n = 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   … , - 1 n + 1 ,   …

Passo 2

Sendo assim, vamos lá para o nosso exercício, do enunciado temos a seguinte sequência:

5 1 , 8 2 , 11 6 , 14 24 , 17 120 , …

No numerador, nós temos o seguinte:

( 3 + 2 ) ,   ( 6 + 2 ) ,   ( 9 + 2 ) ,   ( 12 + 2 ) ,   ( 15 + 2 ) ,   … ,   ( 3 n + 2 )

Já no denominador, podemos utilizar a dica que é dada no enunciado “divididos por fatoriais”, então temos:

1 ! ,   2 ! ,   3 ! ,   4 ! ,   5 ! ,   … ,   n !

Sendo assim, a fórmula para o n -ésimo termo dessa sequência será:

a n =   3 n + 2 n !

Considerando n ≥ 1 .

Resposta

a n =   3 n + 2 n ! , n ≥ 1 .

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Calcule os oito primeiros termos da sequência de soma com quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ s e nn