Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ x 2 sen ⁡ x 2 d x

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Dessa forma:

sen ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 2 n + 1 !

E, agora podemos escrever a série para x 2 sen ⁡ x 2 :

x 2 sen ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 4 2 n + 1 !

Passo 3

Com isso, a integral é dada por:

∫ x 2 sen ⁡ x 2 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 5 2 n + 1 ! ( 4 n + 5 )

Resposta

∫ x 2 sen ⁡ x 2 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 5 2 n + 1 ! ( 4 n + 5 )

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