Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ x ,   y = ∑ n = 0 ∞ x y n   x y < 1

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais, mas antes, devemos nos atentar a um conceito dos somatórios, vamos descobrir a função convergente.

Como o módulo de xy vai ser menor que 1, então xy nunca vai ser um número negativo, podemos escrever esse intervalo,

0 ≤ x y < 1

Assim, podemos escrever o somatório como a seguinte função convergente

ƒ x ,   y = ∑ n = 0 ∞ x y n = 1 1 - x y

Dessa forma, a função sempre vai estar entre 0 e 1.

Passo 2

Agora sim, primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 1 - x y

Vamos usar a regra da cadeia, u = 1 - x y ,

= ∂ ∂ u 1 u ⋅ ∂ ∂ x 1 - x y

= - 1 u 2 ⋅ - y

= y 1 - x y 2

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

Passo 3

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 1 1 - x y

Vamos usar a regra da cadeia, u = 1 - x y ,

= ∂ ∂ u 1 u ⋅ ∂ ∂ y 1 - x y

= - 1 u 2 ⋅ - x

= x 1 - x y 2

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2 e ∂ f ∂ y = x 1 - x y 2 .

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