Nos Exercícios 23-34, encontre ƒx , ƒy e ƒz.

f(x, y, z) = sen^(-1)(xyz)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

f x = ∂ ∂ x sen - 1 ⁡ ( x y z )

Vamos usar a regra da cadeia, u = x y z

∂ ∂ x sen - 1 ⁡ ( x y z ) = ∂ ∂ u sen - 1 ⁡ u ⋅ ∂ ∂ x x y z

∂ ∂ x sen - 1 ⁡ ( x y z ) = 1 1 - u 2 ⋅ y z

f x = y z 1 - x 2 y 2 z 2

f x = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

Passo 2

Agora em y,

f y = ∂ ∂ y sen - 1 ⁡ ( x y z )

Resolvendo-se da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é que ao invés de 2x teremos 2y,

∂ ∂ y sen - 1 ⁡ ( x y z ) = 1 1 - u 2 ⋅ x z

f y = x z 1 - x 2 y 2 z 2

Passo 3

E por fim, em z, do mesmo jeito,

f z = ∂ ∂ z sen - 1 ⁡ ( x y z )

∂ ∂ z sen - 1 ⁡ ( x y z ) = 1 1 - u 2 ⋅ x y

f z = x y 1 - x 2 y 2 z 2

Bora pro próximo.

Resposta

f x = y z 1 - x 2 y 2 z 2 , f y = x z 1 - x 2 y 2 z 2 e f z = x y 1 - x 2 y 2 z 2

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