Para que valor(es) de x teremos e^(-x^2) = x^2 - x + 1 ?

Passo 1

Para obtermos e - x 2 = x 2 - x + 1 separaremos em duas funções e vamos plotar o gráfico para ver o ponto de intersecção entre eles. Dessa forma, tomemos y 1 = x 2 - x + 1   e   y 2 = e - x 2 , plotando o gráfico vamos obter

Observamos 2 valores de x para os quais as funções se encontram, o primeiro deles conseguimos encontrar pela observação do gráfico, dando um zoom no mesmo. Assim, encontramos x = 0

Por fim, para encontrarmos o outro valor de x que que satisfaz a igualdade usaremos o método de Newton para aproximação de raízes que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a função, para poder substituir na fórmula do método de Newton. Assim,

f x =   e - x 2 - x 2 + x - 1 → f ' x =   - 2 x e - x 2 - 2 x + 1

Agora, precisamos de um ponto inicial x 0 observando o gráfico percebemos que o outro ponto de encontro está próximo de 0.5 = 1 2 , então, tomemos esse valor como nosso ponto de partida. Dessa forma,

x 0 + 1 = x 0 - e - x 0 2 - x 0 2 + x 0 - 1 - 2 x 0 e - x 0 2 - 2 x 0 + 1

x 1 = 1 2   - e - 1 2 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 - 2 ⋅ 1 2 e - 1 2 2 - 2 ⋅ 1 2 + 1

x 1 = 1 2   - e - 1 4 - 1 4 + 1 2 - 1 - e - 1 4 - 1 + 1

x 1 = 1 2   - e - 1 4 - 1 4 - 1 2 - e - 1 4

x 1 = 1 2   - e - 1 4 - 3 4 - e - 1 4

x 1 = 1 2   - ( - 1 + 3 4 - e - 1 4 )

x 1 = 1 2 + 1 - 3 4 e - 1 4

x 1 = 3 2 - 3 4 ⋅ e 1 4

x 1 ≈ 0.536980

Resposta

x = 1   e   x ≈ 0.5 37

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