Para que valor(es) de x obteremos cos(x) = -x ?

Passo 1

Para obtermos cos ⁡ x = - x separaremos em duas funções e vamos plotar o gráfico para ver o ponto de intersecção entre eles. Dessa forma, tomemos y 1 = - x   e   y 2 = cos ⁡ x , plotando o gráfico vamos obter

Podemos reparar que existe um valor que se encontra entre -1 e 0 e é exatamente eles quem queremos estimar utilizando o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a função, para poder substituir na fórmula do método de Newton. Assim,

f x = cos ⁡ x + x → f ' x = 1 - s e n x

Tomando, também, um valor intermediário no intervalo como valor inicial poderemos estimar nossa raiz, assim pegando x 0 = - 0 . 7 podemos substituir na fórmula obtendo

x n + 1 = x n - cos ⁡ x n + x n 1 - s e n x n

Na nossa primeira iteração, vamos obter

x 0 + 1 = x 0 - cos ⁡ x 0 + x 0 1 - s e n x 0

x 1 = - 0.7 - cos ⁡ - 0.7 - 0.7 1 - s e n - 0.7

x 1 ≈ - 0 . 73944

Para nossa próxima iteração utilizaremos o valor de x 1 como valor inicial e faremos

x 1 + 1 = x 1 - cos ⁡ x 1 + x 1 1 - s e n x 1

x 2 = - 0.73944 - cos ⁡ - 0.73944 - 0.73944 1 - s e n - 0.73944

x 2 ≈   - 0.73908

Portanto, podemos pegar - 0 . 74 como uma boa aproximação para termos cos ⁡ x = - x

Resposta

Para x ≈ - 0 . 74 temos cos ⁡ x = - x

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