Enunciado

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Vamos assumir que

v n = 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Vamos fazer alguns ajustes:

v n = 2 + ( - 1 ) n 1,25 n = 2 1,25 n + ( - 1 ) n 1,25 n

2 1,25 n + ( - 1 ) n 1,25 n = 2 1 1,25 n + - 1 1,25 n

Logo:

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n = ∑ n = 1 ∞ 2 1 1,25 n + ∑ n = 1 ∞ - 1 1,25 n

Repara que separamos a nossa série em duas. Agora vamos aplicar o teste da Razão para cada uma.

Passo 2

Vamos lá, começando pela primeira série:

2 ∑ n = 1 ∞ 1 1,25 n

Vamos assumir que

a n = 1 1,25 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 1 1,25 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 1,25 = 1 1,25

Portanto, a série da esquerda converge.

Passo 3

Agora vamos para a segunda série:

∑ n = 1 ∞ - 1 1,25 n

Vamos assumir que

b n = - 1 1,25 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ b n n = lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 n n = lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 = - 1 1,25

Portanto, a série da direita também converge.

Como ambas tem o mesmo comportamento, podemos dizer que a soma delas vai ter o mesmo.

Resposta

C o n v e r g e .

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