Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) ((2 n + 1)^n)/(n^(2 n))

Passo 1

Fala aí, galera!

Esta questão pede para gente verificar se a série dada é convergente ou divergente. Para isso, a gente precisa descobrir qual dos testes aprendidos é melhor para resolver o problema.

Veja que o termo geral da série em função da variável n , o a_n , já foi dado para gente. A saber,

a_n = ((2 n + 1)^n)/(n^(2 n))

A gente observa que esse termo pode ser reescrito da seguinte forma:

a_n = ((2 n + 1)/(n^2))^n = (b_n)^n

em que,

b_n = (2 n + 1)/(n^2) .

Um teste adequado para conferir se a série é convergente ou não é Teste da Raiz.

O Teste da Raiz diz que:

  1. Se underset(n -> oo)(lim) root(n)(| a_n |) = L < 1 , então a série sum_(n = 1)^(oo) a_n é absolutamente convergente, portanto converge.
  2. Se underset(n -> oo)(lim) root(n)(| a_n |) = L > 1 ou underset(n -> oo)(lim) root(n)(a_n) = oo , então a série sum_(n = 1)^(oo) a_n é divergente.
  3. Se underset(n -> oo)(lim) root(n)(| a_n |) = 1 , o Teste da Raiz não é conclusivo.

Passo 2

Boa, pessoal! Já descobrimos qual é o melhor método para se resolver a questão. Agora, precisamos calcular root(n)(| a_n |) . Como n >= 1 , temos que n^2 > 0 e 2 n + 1 > 0 , logo a_n > 0 e não precisamos nos preocupar com o sinal do termo que está dentro da raiz. Segue, então, que:

root(n)(| a_n |) = root(n)(a_n) = root(n)((b_n)^n) = b_n = (2 n + 1)/(n^2) .

Passo 3

Determinada a raiz root(n)(| a_n |) , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que, por ter maior grau, o polinômio do denominador de b_n cresce mais rapidamente que o numerador, de forma que a fração (2 n + 1)/(n^2) se aproxima cada vez mais de zero, quando n se torna cada vez maior. Portanto,

underset(n -> oo)(lim) root(n)(| a_n |) = underset(n -> oo)(lim) (2 n + 1)/(n^2) = 0 < 1

E segue do Teste da Raiz que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Raiz.

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