Enunciado

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?

b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n

Passo 1

Fala aí, galera! Esta questão nos pede para verficar se o Teste da Razão é conclusivo ou não para a série dada. O Teste da Razão nos diz que:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Assim, para resolvermos o problema, precisamos determinar as expressões para o n-ésimo e (n+1)-ésimo termo da série, escrever a divisão a n + 1 a n e, então, tirar o módulo dessa razão. Feito isso, nós calculamos o limite desse módulo quando n tende ao infinito e verficamos se o resultado é menor que, maior que, igual a 1 ou tende ao infinito.

Passo 2

O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,

a n = n 2 n

O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima. Assim, temos que:

a n + 1 = n + 1 2 n + 1

Dessa forma, temos que:

a n + 1 a n = n + 1 2 n + 1 n 2 n

Como n ≥ 1 , segue que a n + 1 e a n são números reais positivos. Sendo assim, temos que:

  a n + 1 a n = a n + 1 a n = n + 1 2 n + 1 n 2 n = n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n = n + 1 2 1 ⋅ 2 n ⋅ 2 n n

E o termo 2n pode ser simplificado na equação acima. Logo,

a n + 1 a n = n + 1 2 n

Passo 3

Então, galera, nós calculamos a razão a n + 1 a n . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2

Veja que, quando n cresce muito, o valor de 1/n se torna cada vez mais próximo de zero. Assim, o numerador da razão a n + 1 a n se aproxima cada vez mais de 1 e o limite acima tende a 1 2 . Logo,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 = 1 2  

Como o limite é menor que 1, o Teste da Razão é conclusivo para este caso e podemos garantir que a série é absolutamente convergente, portanto ela converge.

Resposta

O Teste da Razão é conclusivo para esta questão, pois:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 < 1

Portanto, a série é convergente.

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