Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 + x

Passo 1

Podemos reescrever a função como

1 + x = 1 + x 1 / 2

Então podemos colocar na série binomial que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + k ( k - 1 ) ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Onde k = 1 / 2 , então

1 + x 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n = 1 + 1 2 x + 1 2 - 1 2 2 ! x 2 + …

Passo 2

A série binomial genérica

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Converge para x < 1 , como não alteramos x nossa série

1 + x 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n

Também converge para x < 1 , portanto R = 1 .

Resposta

1 + x 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n

R = 1

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