Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 1 + x 4

Passo 1

Podemos reescrever a função como

1 1 + x 4 = 1 + x - 4

Então podemos colocar na série binomial que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + k ( k - 1 ) ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Onde k = - 4 , então

1 + x - 4 = ∑ n = 0 ∞ - 4 n x n = 1 + - 4 x + - 4 - 5 2 ! x 2 + ( - 4 ) ( - 5 ) ( - 6 ) 3 ! x 3 + …

Passo 2

A série binomial genérica

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Converge para x < 1 , como não alteramos x nossa série

1 + x - 4 = ∑ n = 0 ∞ - 4 n x n

Também converge para x < 1 , portanto R = 1 .

Resposta

1 + x - 4 = ∑ n = 0 ∞ - 4 n x n

R = 1

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